百度百科「幸存者偏差」中关于二战飞机的例子，前后解释有些矛盾，是怎么回事？

我们来看这篇 1943 年的论文吧。

论文背景是，二战时，从战火中返航的飞机的伤痕呈现某种规律，有的部位中弹多，有的部位中弹少。为了提高飞机的防御力，直觉上似乎应该在弹孔密集处加强装甲。

不过这位专家说：到底哪里最需要防护，直觉说了不算，我算给你看。

（Cameron Moll 画的示意图）

这位专家是匈牙利裔犹太人，后来去美国做研究，二战前后达到个人学术成就的顶峰。

此时你是否想起了一头姓冯名诺依曼的超级神犇？

不过这里说的不是冯·诺依曼，而是亚伯拉罕·沃尔德（Abraham Wald）。

沃尔德的名气比冯·诺依曼小一万倍，但在当时神牛辈出的学术圈也不是无名之辈。

诺贝尔奖经济学奖得主，弗里德曼，为美国海军研究炸弹试验方案时，卡在一个统计学问题上。弗里德曼求助犹太老乡沃尔德，问题迎刃而解。战后沃尔德拓展了这个问题，写成专著《序列分析》。

弗里德曼把这段经历写入了自传，称赞道：「他（沃尔德）是一位杰出的统计学家，为统计学做出了创造性的贡献。」

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沃尔德的论文题目是：

A Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors

上图是正文第一页。开篇是定义参数，推出引理，列出数值分析方法等等。

铺垫了五十五页之后，沃尔德开始代入数据，演示如何计算飞机要害处。他用了一组虚构的数据：

400 架飞机参与轰炸行动，返回 359 架。在返回的这些飞机中， 240 架毫发无损， 68 架中弹 1 发，29 架中弹 2 发， 12 架中弹 3 发， 10 架中弹 4 发。另外还已知飞机的各部位面积及各部位中弹次数，其中发动机部位的弹孔分布最稀疏。但对于没回来的飞机是怎么死的一无所知。

我的第一反应是：这道应用题是不是条件不足？

沃尔德毕竟是吃这碗饭的，前五十五页也不是白写的。推算结论如下表：

大意是说，根据这组虚构的数据，得出结论，发动机是最要命的地方，被击中一弹，就有 39% 的概率坠毁。

弹孔最稀疏处，恰恰是要害处，因为没怎么被击中要害的飞机才更有机会返航、进入统计样本。这就是「幸存者偏差」，更多描述请阅读 程毅南关于「幸存者偏差」的答案 。

接下来，沃尔德马上推出升级版算法：只要知道返回的飞机何处中了何种子弹，我就可以算出飞机不同部位被不同武器击中之后的坠毁概率！此处使用的数据仍是虚构的，只为演示算法，结论如下：

沃尔德根据虚构的数据算出：

1. 飞机最怕被20毫米机炮击中发动机，挂掉的概率是 53.4% ；

2. 第二危险的是被7.9毫米机枪击中驾驶舱，有 19.4% 的概率坠毁；

3. 综合来说，发动机是最致命的地方；

或许有人会说：我用膝盖都能想到发动机和驾驶舱是要害，还要你算给我看？更不用说你的数据还是虚构的了。

不过我的想法是，设计飞机的人不会没有考虑到发动机和驾驶舱的重要性，或许已经给予了充分甚至过分的保护了呢？加厚装甲的代价是损失飞行灵活性，不是想加就加的。

所以在这点上我同意 @欲三更 所说的，凭常识是不足以判断飞机哪里需要加固的。有了计算方法，我们才有办法知道对要害的保护有没有矫枉过正，有没有暴露出新的要害。

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沃尔德的论文链接：http://cna.org/sites/default/files/research/0204320000.pdf今人对此文的分析：http://people.ucsc.edu/~msmangel/Wald.pdf

这篇 1943 年的论文的实用价值在于：战场上我们很难找回坠毁的飞机，因而没有办法像 CSI 那样去给飞机验尸，但是不要紧，只要分析返回的飞机，使用统计学方法，就可以推算出那些挂掉的飞机的死因，以助改进飞机的设计。

总之，故事确有真实源头，不过故事中没有提到的是，飞机的要害部位与弹孔分布的关系，不是光凭空口推理的，而是一位优秀的统计学家以平生所学，花了近百页的篇幅，列了一百多个式子推导出来的。

沃尔德的结局令人惋惜。1950 年，四十八岁的他受印度政府邀请，携妻前往印度讲学。不料，航行至印度的尼尔吉里丘陵时，飞机坠毁，沃尔德和妻子都未能成为幸存者。